Pengertian Sistem Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persaman yang tidak melibatkan hasil kali atau akar variabel, semua variabel mempunyai pangkat satu dan bukan sebagai variabel bebas dari fungsi trigonometri, logaritma atau eksponen.
Mengenal Aljabar Linier
Contoh beberapa persamaan linier:
Persamaan (a) yaitu persamaan linear dengan variabel x dan y, dengan koefisien 2 dan 3 yang merupakan persamaan garis. Persamaan (b) yaitu persamaan linear dengan variabel x1, x2 dan x3, dengan koefisien 4, 3 dan 2 yang merupakan persamaan bidang. Sedangkan Persamaan (c) yaitu persamaan linear dengan variabel xi dan koefisien ai dan b dengan i = 1, 2, 3, ...., n.
Contoh beberapa persamaan TIDAK linier:
Persamaan (a) bukan persamaan linear, karena variabel x mempunyai pangkat dua. Persamaan (b) bukan persamaan linear, karena terdapat perkalian dua variabel yaitu x1x2 dan x2 mempunyai pangkat dua, begitu juga Persamaan (c)
Penyelesaian dari persamaan linear adalah pemberian nilai pada variabel yang ada sedemikian sehingga persamaan itu benar . Misal Persamaan 1.1, jika variabel x diberi nilai 0, maka variabel y harus bernilai 2, atau beri nilai sebarang pada x, maka nilai y dapat ditentukan kemudian, nilai sebarang itu misalnya t, sehingga;
Begitu juga untuk Persamaan (b) pada persamaan linier
atau dengan pemberian nilai yang lain, misal
Begitu juga untuk Persamaan (b) pada persamaan linier
Sedangkan persamaan (c) pada persamaan linier akan terpenuhi jika variabel xi dimana i = 1, 2, 3, ...., n. diberi nilai yang sesuai sehingga persamaan linear tersebut memenuhi, misal x1 = s1, x2 = s2,...., xn = sn, maka penyelesaian persamaan linear tersebut adalah pasangan terurut (s1, s2, s3,....,sn). Karena penyelesaian dari persamaan tersebut tidak hanya satu, maka semua penyelesaian dari persamaan terhimpunan dalam himpunan penyelesaian.
Persamaan linear yang lebih dari satu (terhingga) dan variabelnya saling terkait, himpunan persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear.
Contoh 1 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan tiga variabel,
Salah satu penyelesaian dari sistem linear tersebut adalah x = 1, y = 2 dan z = -1, karena nilai tersebut memenuhi kedua persamaan, sedangkan penyelesaian yang lain, x = 2, y = -1 dan z = -1 bukan penyelesaian dari sistem tersebut, sebab nilai tersebut memenuhi persamaan yang kedua, tetapi tidak memenuhi persamaan pertama.
Contoh 2 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel,
Hanya satu penyelesaian dari sistem linear tersebut, x = 4 dan y = 1, karena tidak ditemukan penyelesaian yang lain.
Contoh 3 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel,
Sistem linear tersebut tidak konsisten, karena jika persamaan pertama dikalikan dengan tiga, kedua persamaan tersebut tidak konsisten, sehingga sistem linear tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Secara umum, ada tiga kemungkinan penyelesaian dari sistem persamaan linear, yang dapat diilustrasikan sebagai dua persamaan garis, yaitu;
Tiga Macam Penyelesaian Sistem Linear
- Sistem linear mempunyai satu penyelesaian, jika dua garis tersebut berpotongan pada satu titik. Lihat Gambar (a)
- Sistem linear mempunyai banyak penyelesaian, jika dua garis tersebut berimpit. Lihat Gambar (b)
- Sistem linear tidak mempunyai penyelesaian, jika dua garis tersebut sejajar . Lihat Gambar (c)
Sebarang sistem persamaan linear dengan m persamaan dan n variabel dapat ditulis sebagai berikut:
dengan xi adalah variabel dan aij dan bj adalah koefisien konstanta dengan i = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n.
Dapat juga ditulis ke dalam bentuk matriks, yaitu;
Dapat juga ditulis ke dalam bentuk singkat, yaitu;
Pada proses pencarian penyelesaian dari sistem linear tersebut, biasanya tanda +, x dan = dihilangkan sehingga terbentuk suatu matriks yan glebih singkat yang dinamakan matriks diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks A dan mariks b digabung jadi satu kesatuan matriks, hasilnya;
Sistem Linear Homogen
Suatu sistem dikatakan linear homogen, jika matriks b diganti dengan matriks 0, atau sistem tersebut mempunyai bentuk
Sistem ini mempunyai penyelesaian trivial jika x1 = x2 = x3 = ..... = xn = 0 dan mempunyai penyelesaian tak trivial jika sistem mempunyai penyelesaian selain itu.
Contoh Soal
Untuk mencari penyelesaian umum atau himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear, ada beberapa cara yang sederhana adalah substitusi (seperti di SMU). Sebelum mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear, perhatikan terlebih dahulu metode dasar atau elementer yang mirip dengan metode substitusi yaitu operasi baris elementer yang lebih dikenal dengan sebutan OBE.
Penyelesaian Soal Persamaan Linear
Pada metode substitusi, langkah untuk menghilangkan sebuah variabel dapat dilakukan dengan tiga langkah, yaitu;
- Mengalikan persamaan dengan sebuah konstanta tak-nol
- Tukarkan dua persamaan
- Tambahkan perkalian dari persamaan ke persamaan yang lain
Sedangkan pada metode operasi baris elementer, langkah untuk menghilangkan sebuah konstanta pada kolom tertentu dapat dilakukan dengan tiga langkah, yaitu;
- Mengalikan baris dengan sebuah konstanta tak-nol
- Tukarkan dua baris
- Tambahkan perkalian dari baris ke baris yang lain
CONTOH 1 - Perhatikan sistem persamaan linear berikut ini;
Untuk menyelesaikan dengan metode substitusi, lakukan langkah pertama, yaitu: kalikan Persamaan 1.10 dengan 2, sehingga menjadi
kemudian kurangkan Persamaan 1.11 dengan Persamaan 1.10, maka Persamaan 1.11 menjadi
dan 
Tetapi, jika menggunakan metode OBE, buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut, kemudian lakukan OBE dengan perintah, kurangi baris kedua dengan dua kali baris pertama, dilanjutkan kurangi baris satu dengan dua kali baris kedua, sehingga saat dikembalikan ke bentuk sistem persamaan linear lagi menjadi : x = 1 dan y = 2
1. Baris Eselon Tereduksi
Telah dipelajari langkah-langkah OBE, seperti pada Contoh 1.2.1. Pada bagian ini akan ditunjukkan bentuk dari suatu matriks yang mempunyai sifat baris eselon dan baris eselon tereduksi adalah sebagai berikut:
- Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak-nol pertama dalam baris tersebut adalah satu yang disebut dengan utama-1
- Jika ada baris terdiri dari nol semua, maka pindahkan ke bagian bawah matriks
- Jika ada dua baris yang beurutan yang tidak seluruhnya nol, utama-1 pada baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama-1 dari baris atasnya
- Setiap kolom yang berisi utama-1 mempunyai nol di baris yang lainnya
Jika suatu matriks mempunyai sifat 1, 2 dan 3, maka matriks tersebut disebut matriks bentuk baris eselon, sedangkan matriks yang mempunyai ke-empat sifat tersebut dinamakan matriks bentuk baris eselon tereduksi.
CONTOH 2 - Matriks-matriks dalam bentuk baris eselon, seperti dibawah ini;
Sedangkan matriks-matiks dalam bentuk baris eselon tereduksi adalah
2. Metode Eliminasi Gauss
Metode eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan OBE, sedemikian hingga matriksnya mempunyai bentuk baris eselon. Setelah terbentuk baris eselon, kembalikan matriks tersebut dalam bentuk sistem linear dan kemudian lakukan substitusi balik mulai dari bawah.
CONTOH 3 - Selesaikan sistem persamaan linear dibawah ini dengan menggnakan metode eliminasi Gauss
Jawab:
Ubah sistem linear ke bentuk matriks diperbesar,
kemudian lakukan OBE, sedemikian hingga matriksnya menjadi bentuk baris eselon, seperti
Ubah kembali ke sistem linear menjadi
lakukan substitusi balik, yaitu
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2 dan z = 3
3. Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode eliminasi Gauss-Jordan adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan OBE, sedemikian hingga matriksnya mempunyai bentuk baris eselon tereduksi. Setelah terbentuk baris eselon tereduksi, kembalikan matriks tersebut dalam bentuk sistem linear dan ditemukan kemudian lakukan substitusi balik mulai dari bawah.
Dengan Contoh 1.2.3, lanjutkan OBEnya sedemikian hingga matriksnya berbentuk baris eselon tereduksi, yaitu
kembalikan ke bentuk sistem linear, yaitu
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2 dan z = 3
CONTOH 4 - Carilah penyelesaian dari sistem linear homogen berikut
Jawab:
Ubah sistem linear dalam bentuk matriks, kemudian lakukan OBE sehingga menjadi matriks dalam bentuk eselon tereduksi, seperti;
kembalikan ke sistem linear, sehingga didapat
Jadi penyelesaiannya adalah x1 = s, x2 = -2s, x3 = s, x4 = 0
Kesimpulan SPL
(1) Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m buah persamaan dan n buah variabel dapat dituliskan dalam bentuk persamaan matriks
AX = B
dimana A adalam matriks real berukuran m x n, X = (x1, ..., xn)t, dan B = (b1, ..., bn)t. Jika B = 0 sistem di atas disebut SPL homogen.
(2) Teknik mendapatkan solusi SPL adalah dengan mengubah matriks lengkap (A|B) ke bentuk eselon baris (A'|B') dan melakukan substitusi balik. Setiap kolom pada A' yang tidak mempunyai 1 utama memunculkan sebuah parameter pada variabel bersangkutan.
(3) Banyaknya baris tak nol pada matriks eselon baris A' disebut rank dari A, dinotasikan rank(A). Dalam hal ini kita mempunyai teorema bahwa: Suatu SPL AX = B mempunyai solusi jika dan hanya jika rank(A) = rank(A|B).
(4) SPL AX = B dengan n buah variabel mempunyais solusi tunggal jika dan hanya jika rank(A) = n. Jika rank(A) < n maka SPL mempunyai solusi tak hingga banyak dengan parameter yang terlibat sebanyak n - rank(A).
(5) SPL homogen AX = 0 dimana A berukuran m x n dan n > m selalu mempunyai solusi tak hingga banyak. Banyaknya parameter yang terlibat adalah n - rank(A).
(6) Pada SPL homogen AX = 0 dimana A berukuran n x n berlaku: SPL mempunyai solusi tunggal jika dan hanya jika det(A) ≠ 0. Jika det(A) = 0 maka SPL di atas mempunyai solusi tak hingga banyak.
Formula Mencari Akar Persamaan Non Linear Metode Biseksi
Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
Metode Biseksi
Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah:
Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan:
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar. Aturan mainnya adalah:
- Jika b * f(x) = (-) / negatif, >> maka nilai tengah berikutnya dipindah ke batas atas (a).
- Jika b * f(x) = (+) / positif, >> maka nilai tengah berikutnya dipindah ke batas bawah (b).
Algoritma Metode Biseksi
- Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya
- Tentukan nilai a dan b
- Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N
- Hitung f(a) dan f(b)
- Jika f(a).f(b) > 0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan.
- Hitung nilai tengahnya
- Hitung f(x)
- Bila f(x).f(a) < 0 maka b = x dan f(b) = f(x), bila tidak a = x dan f(a) = f(x)
- Jika |b-a| < e atau iterasi > iterasi maksimum, maka proses dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6. (atau gunakan pedoman Aturan main diatas).
Studi Kasus
Dosen memberikan beberapa soal kepada kami, diantaranya:
- SOAL 1: f(x) = x3 + 3x - 5, dimana xb =1, xa=2 dan e = 0.01
- SOAL 2: f(x) = 2x3 + 2x2 - x + 2, dimana xb =1, xa=6 dan e = 0.01
- SOAL 3: f(x) =3(x3)+ 2(x2) + 3, dimana xb =1, xa=2 dan e = 0.01
Jika kita mengitungnya secara manual dengan bantuan kalkulator, tentu akan menyita banyak waktu dan tenaga. Oleh sebab itu, saya coba permudah langkah tersebut dengan cara membuat formulanya menggunakan ms excel, sekaligus coretan disampingnya untuk verifikasi data di tabel utamanya.
NOTE! disini saya menggunakan variabel batas bawah (xb) dan batas atas (xa).
Penyelesaian
Referensi:
- http://alfaruqi.lecturer.pens.ac.id/mnumerik/bab3tm.pdf
- Modul Metode Numerik STMIK EL Rahma Jogja Oleh Suparyanto S.T.