Langkah-langkah penggunaan metode grafik:
- Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikannya dalam bentuk matematis.
- Mengidentifikasi batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikannya dalam bentuk matematis.
- Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu x dan y.
- Mencari titik yang paling menguntungkan (optimal) dihubungkan dengan fungsi tujuan.
Mengenal Metode Grafik
Contoh Masalah Linear Programming
Sebuah perusahaan industri mempunyai berturut-turut 260kg, 380kg, dan 200kg bahan yaitu kayu, plastik, dan baja. Perusahaan tersebut akan membuat dua macam produk yaitu P dan Q yang berturut-turut memerlukan bahan-bahan (dalam kg) sebagai berikut:
| Produk | Bahan | | |
|--------|-------|---------|------|
| | Kayu | Plastik | Baja |
| P | 3 | 5 | 4 |
| Q | 5 | 6 | 3 |Harga jual tiap produk P Rp.140.000,00/unit dan Q Rp.180.000,00/unit. Berapakah banyak produk P dan produk Q harus diproduksi untuk memaksimalkan laba, dengan biaya variabel produk P Rp.80.000,00/unit dan produk Q Rp.100.000,00/unit.
Penyelesaian
Data tersebut diatas dapat disusun ke dalam tabel seperti berikut:
| | | | |
|----------------------------------------|---|---|--------------------|
| Produk -> | P | Q | Kapasitas Maksimum |
| Sumber | | | |
| Kayu | 3 | 5 | 260 |
| Plastik | 5 | 6 | 380 |
| Baja | 4 | 3 | 200 |
| Sumbangan terhadap laba (Rp.10.000,00) | 6 | 8 | |Untuk formulasi masalah diatas, maka pertama-tama tentukan simbol-simbol yang akan dipakai:
- X1 = jumlah produk P yang akan dibuat.
- X2 = jumlah produk Q yang akan dibuat.
- Z = jumlah sumbangan seluruh produk A dan produk B yang akan diperoleh.
Mencari Fungsi Tujuan Maksimal
Langkah 1 dan 2
Memformulasikannya ke dalam bentuk matematika:
Fungsi Tujuan: Maksimumkan Z = 6X1 + 8X2
Batasan:
- 3X1 + 5X2 ≤ 260
- 5X1 + 6X2 ≤ 380
- 4X1 + 3X2 ≤ 200
Langkah 3
Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y.
Batasan 1
- 3X1 + 5X2 ≤ 260
- Jika, X1 = 0, maka X2 = 260/5 = 52
- Jika, X2 = 0, maka X1 = 260/3 = 86.67
Batasan 2
- 5X1 + 6X2 ≤ 380
- Jika, X1 = 0, maka X2 = 380/6 = 63.33
- Jika, X2 = 0, maka X1 = 380/5 = 76
Batasan 3
- 4X1 + 3X2 ≤ 200
- Jika, X1 = 0, maka X2 = 200/3 = 66.67
- Jika, X2 = 0, maka X1 = 200/4 = 50
Graph Z Maksimum Hasil Generate Aplikasi QM for Windows
Langkah 4.a
Mencari nilai Z optimal (Maksimal) dapat menggunakan 2 cara:
Cara 1:
Dengan menggambarkan fungsi tujuan (cara trial and error), yaitu memisalkan nilai Z pada persamaan fungsi tujuan, sehingga akan didapatkan nilai X1 dan X2. Tujuan permisalan ini adalah untuk mengetahui arah kita menggeser sampai bertemu suatu titik di daerah feasible, sehingga didapatkan nilai Z optimal, baik Maksimal maupun Minimal.
Misalkan (hanya contoh saja, sebagai ilustrasi):
- 6X1 + 8X2 = 240
- Jika, X1 = 0, maka X2 = 240/8 = 30
- Jika, X2 = 0, maka X1 = 240/6 = 40
Apabila permisalan tersebut digambarkan pada grafik diatas dan digeser kearah atas/kanan, maka akan didapatkan suatu titik di daerah feasible pada titik B, sehingga titik B adalah titik optimal dengan Z maksimal. Titik B merupakan pertemuan antara persamaan 1 dan persamaan 3, maka untuk menghitung nilai Z di titik B adalah:
Eliminasi:
3X1 + 5X2 ≤ 260 dikalikan 4
4X1 + 3X2 ≤ 200 dikalikan 3
----------------------------
12X1 + 20X2 ≤ 1040
12X1 + 9X2 ≤ 600
---------------------------- (-)
0 + 11X2 ≤ 440
X2 ≤ 440 / 11
X2 ≤ 40Subtitusi ke persamaan 1:
3X1 + 5*40 ≤ 260
3X1 + 200 ≤ 260
3X1 ≤ 260 - 200
3X1 ≤ 60
X1 ≤ 60 / 3
X1 ≤ 20
Maka, Z optimal (maksimal) di titik B adalah 6X1 + 8X2 = 6*20 + 8*40 = 440Cara 2:
Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif, yaitu dengan menghitung nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif.
Titik A
X1 = 50; X2 = 0, maka Z dititik A 6*50 + 8*0 = 300
Titik B (sama dengan cara 1)
X1 = 20; X2 = 40, maka Z dititik B 6*20 + 8*40 = 440
Titik C
X1 = 0; X2 = 52, maka Z dititik C 6*0 + 8*52 = 416
Kesimpulan:
Jadi, berdasarkan cara 2 nilai Z optimal ada di titik B, sama dengan cara 1. Maka produk P(X1) diproduksi sebanyak 20 unit dan produk Q(X2) diproduksi sebanyak 40 unit dengan laba maksimal 440 x Rp.10.000,- = Rp.4.400.000,-
Mencari Fungsi Tujuan Minimal
Langkah 1 dan 2
Memformulasikannya ke dalam bentuk matematika:
Fungsi Tujuan: Minimumkan Z = 6X1 + 8X2
Batasan:
- 3X1 + 5X2 = 260
- 5X1 + 6X2 ≤ 380
- 4X1 + 3X2 ≥ 200
Langkah 3
Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y.
Batasan 1
- 3X1 + 5X2 = 260
- Jika, X1 = 0, maka X2 = 260/5 = 52
- Jika, X2 = 0, maka X1 = 260/3 = 86.67
Batasan 2
- 5X1 + 6X2 ≤ 380
- Jika, X1 = 0, maka X2 = 380/6 = 63.33
- Jika, X2 = 0, maka X1 = 380/5 = 76
Batasan 3
- 4X1 + 3X2 ≥ 200
- Jika, X1 = 0, maka X2 = 200/3 = 66.67
- Jika, X2 = 0, maka X1 = 200/4 = 50
Graph Z Minimal Hasil Generate Aplikasi QM for Windows
Langkah 4.b
Mencari nilai Z optimal (Minimal) dapat menggunakan 2 cara:
Cara 1:
Dengan menggambarkan fungsi tujuan (cara trial and error), yaitu memisalkan nilai Z pada persamaan fungsi tujuan, sehingga akan didapatkan nilai X1 dan X2. Tujuan permisalan ini adalah untuk mengetahui arah kita menggeser sampai bertemu suatu titik di daerah feasible, sehingga didapatkan nilai Z optimal, baik Maksimal maupun Minimal.
Misalkan (hanya contoh saja, sebagai ilustrasi):
- 6X1 + 8X2 = 240
- Jika, X1 = 0, maka X2 = 240/8 = 30
- Jika, X2 = 0, maka X1 = 240/6 = 40
Apabila permisalan tersebut digambarkan pada grafik diatas dan digeser kearah atas/kanan, maka akan didapatkan suatu titik di daerah feasible pada titik B, sehingga titik B adalah titik optimal dengan Z maksimal. Titik B merupakan pertemuan antara persamaan 1 dan persamaan 3, maka untuk menghitung nilai Z di titik B adalah:
Eliminasi:
3X1 + 5X2 = 260 dikalikan 4
4X1 + 3X2 ≥ 200 dikalikan 3
----------------------------
12X1 + 20X2 = 1040
12X1 + 9X2 ≥ 600
---------------------------- (-)
0 + 11X2 = 440
X2 = 440 / 11
X2 = 40Subtitusi ke persamaan 1:
3X1 + 5*40 = 260
3X1 + 200 = 260
3X1 = 260 - 200
3X1 = 60
X1 = 60 / 3
X1 = 20
Maka, Z optimal (minimal) di titik B adalah 6X1 + 8X2 = 6*20 + 8*40 = 440Cara 2:
Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif, yaitu dengan menghitung nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif. Karena hanya ada satu titik alternatif, maka merupakan titik optimal dengan Z minimal, dan perhitungan titik tersebut sama dengan cara 1.
Kesimpulan:
Jadi, berdasarkan cara 2 nilai Z optimal ada di titik B, sama dengan cara 1. Maka produk P(X1) diproduksi sebanyak 20 unit dan produk Q(X2) diproduksi sebanyak 40 unit dengan laba maksimal 440 x Rp.10.000,- = Rp.4.400.000,-
Referensi:
Modul Riset Operasi, Bab 2 (A) Metode Grafik, disusun oleh Minawarti, ST.