Perusahaan Gethuk Manthuk-Manthuk membuat 2 macam gethuk, yaitu ENAK dan MANTEP. Dalam setiap kali pembuatan disediakan ketela paling banyak 6kg, gula paling sedikit 3kg, dan kelapa sebanyak 2kg.
Contoh Penyelesaian Soal Metode Grafik
Untuk membuat gethuk ENAK digutuhkan ketela 3kg, gula 1kg, dan kelapa 2kg. Untuk membuat gethuk MANTEP dibutuhkan ketela 3kg, gula 3kg, dan kelapa 1kg.
Gethuk ENAK dijual dengan harga Rp.5000,- dan Gethuk MANTEP Rp.6000,-
Berapakah gethuk ENAK dan gethuk MANTEP harus dibuat ? agar diperoleh biaya pembuatan paling MINIMAL, jika diketahui keuntungan masing-masing adalah Rp.1000,-
Penyelesaian:
1. Menentukan Variabel
| Gethuk | Variabel |
|--------|----------|
| Enak | X1 |
| Mantep | X2 |2. Menentukan Fungsi Tujuan (Z)
Z = … X1 + … X2
| Gethuk | Jual | Keuntungan | Biaya |
|--------|-----------|------------|-----------|
| Enak | Rp.5000,- | Rp.1000,- | Rp.4000,- |
| Mantep | Rp.6000,- | Rp.1000,- | Rp.5000,- |2.b. Menyederhanakan dengan skala perbandingan;
Z = 4000 X1 + 5000 X2
Z = 4X1 + 5X2 → (Menggunakan skala 1:1000).
3. Menentukan Fungsi Batasan
| Bahan | Fungsi | Batasan |
|--------|-----------|---------|
| Ketela | 3X1 + 3X2 | ≤ 6 |
| Gula | X1 + 3X2 | ≥ 3 |
| Kelapa | 2X1 + X2 | = 2 |Sebatas Catatan:
Jika di dalam soal terdapat fungsi batasan, misalnya x1, x2 ≥ 0, maka grafiknya nanti akan memiliki zona batasan kurang lebih seperti ini;
Tapi jika tidak ada, maka tak terbatas, sehingga tidak menutup kemungkinan hasilnya negatif (-).
4. Minimalkan Z
Telah didapatkan 3 fungsi batasan, diantaranya;
- 3X1 + 3X2 ≤ 6
- X1 + 3X2 ≥ 3
- 2X1 + X2 = 2
1). 3X1 + 3X2 ≤ 6
Jika, X1 = 0, maka X2 = 6/3 = 2
Jika, X2 = 0, maka X1 = 6/3 = 2
Jadi, (X1, X2) = (2, 2)
2). X1 + 3X2 ≥ 3
Jika, X1 = 0, maka X2 = 3/3 = 1
Jika, X2 = 0, maka X1 = 3/1 = 3
Jadi, (X1, X2) = (3, 1)
3). 2X1 + X2 = 2
Jika, X1 = 0, maka X2 = 2/1 = 2
Jika, X2 = 0, maka X1 = 2/2 = 1
Jadi, (X1, X2) = (1, 2)
5. Menggambar Grafik dan Mendeklarasikan Daerah Feasible
Riset Operasi Metode Grafik - Menentukan Titik Alternatif
6. Mencari Nilai Z Optimal
Dikarenakan studi kasus menanyakan tentang berapa biaya produksi paling MINIMAL, maka kita hanya perlu menggunakan nilai MINIMAL, meskipun pada tahap ini nanti juga akan menghasilkan nilai MAKSIMALNYA.
Untuk mencari nilai Z optimal dapat digunakan 2 cara:
1. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif
Caranya adalah dengan menghitung nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif, dengan cara subtitusi.
Titik A
(X1,X2) = (0, 2) subtitusi ke Fungsi Tujuan (Z), maka;
Z = 4X1 + 5X2
Z = 4*0 + 5*2
Z = 10 (max)Titik B, menggunakan cara ke-2,
2. Dengan menggambarkan fungsi tujuan. (caranya trial and error)
Caranya dengan memisalkan nilai Z pada persamaan fungsi tujuan, sehingga akan didapatkan nilai X1 dan X2.
Titik B
Karena titik B adalah perpotongan dari batasan 2 dan 3, maka perlu menggunakan kedua persamaan / fungsi tersebut,
Eliminasi:
X1 + 3X2 ≥ 3 | kalikan 2
2X1 + X2 = 2 | kalikan 1
------------------------------
2X1 + 6X2 ≥ 6
2X1 + X2 = 2
------------------------------ (-)
0 + 5X2 = 4
X2 = 4/5Subtitusi ke salah satu persamaan:
X1 + 3X2 ≥ 3
X1 + 3*4/5 ≥ 3
X1 + 12/5 ≥ 3
X1 ≥ 3-12/5
X1 ≥ 15/5 - 12/5
X1 ≥ 3/5Sehingga diperoleh titik B (3/5, 4/5). Berikutnya subtitusikan ke fungsi tujuan (Z), maka;
Z = 4*3/5 + 5*4/5
Z = 12/5 + 20/5
Z = 32/5
Z = 6.4 (min)7. Membuat Kesimpulan
Maka bisa ditarik kesimpulan bahwa, untuk pembuatan gethuk ENAK 3/5 dan gethuk MANTEP 4/5 diperlukan biaya MINIMAL 6.4 x Rp.1000,- (karena skala 1:1000) = Rp.6400,-
Contoh 2
Perusahaan roti prima membuat 2 macam roti lapis Legit dan Legit Sekali, yang mana dalam setiap pembuatannya disediakan Telur sebanyak 6kg, Gula paling banyak 6kg, dan Terigu paling sedikit 2kg.
Untuk membuat roti lapis Legit dibutuhkan kompoisi Telur 2kg, Gula 3kg & Terigu 2kg. Sedangkan untuk membuat roti lapis Legit Sekali dibutuhkan Telur 3kg, Gula 2kg, dan Terigu 2kg.
Tentukan berapa roti lapis Legit dan Legit sekali harus dibuat agar diperoleh biaya pembuatan paling murah (MINIMAL), jika diketahui roti lapis Legit dijual Rp.4000,- dan lapis Legit Sekali Rp.6000,- dengan keuntungan masing-masing Rp.1000,-
Penyelesaian
1. Menentukan Variabel
| Roti Lapis | Variabel |
|--------------|----------|
| Legit | X1 |
| Legit Sekali | X2 |2. Menentukan Fungsi Tujuan (Z)
Z = … X1 + … X2
| Gethuk | Jual | Keuntungan | Biaya |
|--------------|-----------|------------|-----------|
| Legit | Rp.4000,- | Rp.1000,- | Rp.3000,- |
| Legit Sekali | Rp.6000,- | Rp.1000,- | Rp.5000,- |2.b. Menyederhanakan dengan skala perbandingan;
Z = 3000 X1 + 5000 X2
Z = 3X1 + 5X2 → (Menggunakan skala 1:1000).
3. Menentukan Fungsi Batasan
| Bahan | Fungsi | Batasan |
|--------|-----------|---------|
| Telur | 2X1 + 3X2 | = 6 |
| Gula | 3X1 + 3X2 | ≤ 3 |
| Terigu | 2X1 + 2X2 | ≥ 2 |4. Minimalkan Z
Telah didapatkan 3 fungsi batasan, diantaranya;
- 2X1 + 3X2 = 6
- 3X1 + 3X2 ≤ 3
- 2X1 + 2X2 ≥ 2
1). 2X1 + 3X2 = 6
Jika, X1 = 0, maka X2 = 6/3 = 2
Jika, X2 = 0, maka X1 = 6/2 = 3
Jadi, (X1, X2) = (3, 2)
2). 3X1 + 3X2 ≤ 3
Jika, X1 = 0, maka X2 = 6/2 = 3
Jika, X2 = 0, maka X1 = 6/3 = 2
Jadi, (X1, X2) = (2, 3)
3). 2X1 + 2X2 ≥ 2
Jika, X1 = 0, maka X2 = 2/2 = 1
Jika, X2 = 0, maka X1 = 2/2 = 1
Jadi, (X1, X2) = (1, 2)
5. Menggambar Grafik dan Mendeklarasikan Daerah Feasible
Menentukan titik alternatif metode grafik - contoh 2 riset operasi
6. Mencari Nilai Z Optimal
Dikarenakan studi kasus menanyakan tentang berapa biaya produksi paling MINIMAL, maka kita hanya perlu menggunakan nilai MINIMAL, meskipun pada tahap ini nanti juga akan menghasilkan nilai MAKSIMALNYA.
Untuk mencari nilai Z optimal dapat digunakan 2 cara:
1. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif
Caranya adalah dengan menghitung nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif, dengan cara subtitusi.
Titik A
(X1,X2) = (0, 2) subtitusi ke Fungsi Tujuan (Z), maka;
Z = 3X1 + 5X2
Z = 3*0 + 5*2
Z = 10 (max)Titik B, menggunakan cara ke-2,
2. Dengan menggambarkan fungsi tujuan. (caranya trial and error)
Caranya dengan memisalkan nilai Z pada persamaan fungsi tujuan, sehingga akan didapatkan nilai X1 dan X2.
Titik B
Karena titik B adalah perpotongan dari batasan 1 dan 2, maka perlu menggunakan kedua persamaan / fungsi tersebut,
Eliminasi:
2X1 + 3X2 = 6 | kalikan 3
3X1 + 2X2 ≤ 6 | kalikan 2
------------------------------
6X1 + 9X2 = 18
6X1 + 4X2 ≤ 12
------------------------------ (-)
0 + 5X2 = 6
X2 = 6/5Subtitusi ke salah satu persamaan:
2X1 + 3X2 = 6
2X1 + 3*6/5 = 6
2X1 + 18/5 = 6
2X1 = 6-12/5
2X1 = 30/5 - 12/5
2X1 = 12/5
X1 = 12/5 /2
X1 = 12/10
X1 = 6/5Sehingga diperoleh titik B (6/5, 6/5). Berikutnya subtitusikan ke fungsi tujuan (Z), maka;
Z = 3X1 + 5X2
Z = 3*6/5 + 5*6/5
Z = 18/5 + 30/5
Z = 48/5
Z = 9.6 (min)7. Membuat Kesimpulan
Maka bisa ditarik kesimpulan bahwa, untuk pembuatan gethuk ENAK 6/5 dan gethuk MANTEP 6/5 diperlukan biaya MINIMAL 9.6 x Rp.1000,- (karena skala 1:1000) = Rp.9600,-
Referensi:
Modul BAB II Metode Grafik (Teknik Riset Operasi), Pengapu Minarwati, S.T.